Hallo Leute;
hier eine Musterlösung für den Vokabeltest. Aufgabe 1 und 2 brauchen wir hier nicht besprechen; gefragt waren nach der Formulierung des Hilbertschen Nullstellensatzes in Aufgabe 1; in Aufgabe 2 solltet ihr die Definition von algebraischer Menge und Verschwindungsideal angeben und erklären, was der Unterschied zwischen einer affinen Varietät und einer algebraischen Menge ist (eine Varietät ist eine algebraische Menge zusammen mit der Zariski-Topologie). Jetzt zum Teil, der euch sicherlich mehr interessiert: Der Multiple-Choice Teil
Frage 1 “Der affine Koordinatenring einer algebraischen Menge über einem algebraisch abgesclossenene Körper k ist eine endlich erzeugte k-Algebra.” Diese Aussage ist richtig. Beweis: Der Koordinatenring ist Quotient eines Polynomrings (genauer: Polynomalgebra) in endlich vielen Variablen. Das ist gerade die Definition von “endlich erzeugt”.
Frage 2 “Jedes von (0) verschiedene Primideal ist maximal.” Das ist falsch. Beispielsweise ist (X-Y) irreduzibel in k[X,Y] aber nicht maximal.
Frage 3 “Die Vereinigung zweier algebraischen Menge ist wieder eine algebraische Menge” Richtig. Beweis: V(IJ)=V(I) \cup V(J).
Frage 4 “Für einen noetherschen Ring R ist jede endlich erzeugte R-Algebra auch wieder noethersch.” Richtig. Beweis: Ist R noethersch, so auch jeder Polynomring in endlich vielen Variablen. Ist nun A eine endlich erzeugte R-Algebra, so ist A Ringquotient eines solchen Polynomrings R[X_1,...,X_n]. Ein Ring ist noethersch genau dann, wenn er als Modul über sich selbst noethersch ist. Zudem ist jeder Modulquotient eines noetherschen Moduls wieder noethersch. Folglich ist also A ein noetscher R[X_1,...,X_n]-Modul und also auch noethersch als A-Modul. Im letzten Schritt haben wir benutzt, dass für Ringquotienten R’ ->> A gilt: Eine Untergruppe eines A-Moduls ist ein R’-Untermodul genau dann, wenn sie ein A-Untermodul ist.
