Hallo Leute,
hier sind frische Tipps:
Aufgabe 3.1
Garnicht soooo schwer und ne super Übung, aber viel zu schreiben(!) deswegen so viele Punkte. Die Aussage wird wegen der fünf vertikalen Morphismen auch 5er-Lemma genannt. Die Beweismethode auf die Ihr beim Bearbeiten der Aufgabe stoßen werdet, nennt sich Diagrammjagd. Die Argumente sind meistens nicht schwer, aber immer umständlich und langatmig aufzuschreiben und werden deswegen häufig zur Übung an den Leser weitergegeben. Der bequemste Weg, den Beweis weiterzugeben ist, ihn an der Tafel vorzuführen. Ich kann mich an ein Buch erinnern, das Anstatt eines Beweises für das Schlangenlemma, einer ganz ähnlichen Aussage, auf die Eingangsszene des Films “It’s My Turn” verweist. Wem das Video zu schnell ist: Hier kann man den Beweisschritt nochmal nachlesen.
Aber zurück zur Aufgabe. Wie gewohnt: injektiv und surjektiv einzeln zeigen. Für “Injektiv”: Startet mit einem Element aus C, dass über c auf 0 abgebildet wird und zeigt, dass dieses schon selbst 0 ist. Dafür reicht es z.B. ein Urbild aus B zu finden.
Aufgabe 3.2
Das ist eine Anwendung vom Nullstellensatz: Ideale die zu affinen Mengen gehören sind genau die reduzierten Ideale – Das hatten wir ja im letzten Tutorat besprochen. Das bedeutet also, dass Koordinatenringe gerade …
Aufgabe 3.3
Die drei aufgeführten Schritte sind schon Hilfestellung genug, denke ich.
Aufgabe 3.4
Das ist glaube ich die schwierigste Aufgabe auf diesem Zettel, aber zumindest der erste Teil ist gut schaffbar. Geht jeweils so vor:
- Malt euch ein Bild von der Angegebenen Menge in R². Eigentlich liegen die Mengen ja in C², aber das kann man sich ja schlecht vorstellen.
- Sucht eine algebraische Menge Y, die besagte Menge enthält und …
- … zeigt dann, dass zwischen besagter Menge und Y keine weitere Algebraische Menge liegt. Für den ersten Teil müsst ihr euch an die Zariski Topologie von A^1 erinnern. Für den zweiten Teil müsst ihr etwas Trickreicher vorgehen. Für jedes gute Argument gibt’s einen Punkt.
P.S.: Wenn euch die Vorlesung im Moment sehr schwer vorkommt, habt ihr erstens Recht und aber zweitens ist das kein Grund, die Flinte ins Korn zu werfen, denn: Der Hilbert’sche Nullstellensatz ist eine sehr tiefgehende Aussage und erfordert deswegen einen schwereren Beweis. Danach wird es wieder viel einfacher. Es handelt sich also im Moment um einen der höchsten Berge, die ihr für diese Vorlesung besteigen müsst. Danach geht durch die Schwerkraft dieses Satzes vieles fast von alleine.
Also Dann: Schönes Wochenende und bis Mittwoch!
