Hallo allerseits,
an dieser Stelle wird es, so meine Zeit zulässt, immer Tipps zum aktuellen Blatt geben. Da unser Tutorat ja erst einen Tag vor Abgabe stattfindet, kann ich euch hier noch rechtzeitig nützliche Hinweise geben. Also:
Aufgabe 1.1
Findet zunächst zwei Polynome aus k[X_1,X_2,X_3], welche die betreffende algebraische Menge Y beschreiben. Jetzt müsst ihr ein Element X’, beschrieben durch ein Polynom, aus O(V) finden, das diesen Koordinatenring erzeugt. Habt ihr ein solches gefunden, so induzieren die Abbildungen (X |-> X’) und (X’ |-> X) den gesuchten Isomophismus.
Aufgabe 1.2
Hier möchte ich nichts verraten.
Aufgabe 1.3
Nehmt einfach die Definition eines Ideals zur Hand und überlegt, welche der geforderten Eigenschaften kaputt gehen könnte.
Aufgabe 1.4
Der erste Schritt: Was passiert mit X? Der zweite Schritt: Was passiert mit k? Achtung: Da steht nur “Ringhomomorphismus” und es stellt sich also die Frage, ob jeder Ringendomorphismus eines Körpers bereits ein Automorphismus ist – und was ein Gegenbeispiel ist.
Die Frage ist gar nicht so einfach und für jemanden, der Algebra noch nicht gehört hat vielleicht zu schwer. Deswegen der folgende Deal:
- Diejenigen, die Algebra schon gehört haben machen die Aufgabe so, wie sie dasteht; Dafür dürft ihr aber bei Aufgabe 1.3 den Unterpunkt (iii) auslassen.
- Diejenigen, die Algebra noch nicht gehört haben brauchen zur Vereinfachung nur Ringhomos zu untersuchen, die zusätzlich k-linear sind.
