Vokabeltest

Hallo Leute;

hier eine Musterlösung für den Vokabeltest. Aufgabe 1 und 2 brauchen wir hier nicht besprechen; gefragt waren nach der Formulierung des Hilbertschen Nullstellensatzes in Aufgabe 1; in Aufgabe 2 solltet ihr die Definition von algebraischer Menge und Verschwindungsideal angeben und erklären, was der Unterschied zwischen einer affinen Varietät und einer algebraischen Menge ist (eine Varietät ist eine algebraische Menge zusammen mit der Zariski-Topologie). Jetzt zum Teil, der euch sicherlich mehr interessiert: Der Multiple-Choice Teil

Frage 1 „Der affine Koordinatenring einer algebraischen Menge über einem algebraisch abgesclossenene Körper k ist eine endlich erzeugte k-Algebra.“ Diese Aussage ist richtig. Beweis: Der Koordinatenring ist Quotient eines Polynomrings (genauer: Polynomalgebra) in endlich vielen Variablen. Das ist gerade die Definition von „endlich erzeugt“.

Frage 2 „Jedes von (0) verschiedene Primideal ist maximal.“ Das ist falsch. Beispielsweise ist (X-Y) irreduzibel in k[X,Y] aber nicht maximal.

Frage 3 „Die Vereinigung zweier algebraischen Menge ist wieder eine algebraische Menge“ Richtig. Beweis: V(IJ)=V(I) \cup V(J).

Frage 4 „Für einen noetherschen Ring R ist jede endlich erzeugte R-Algebra auch wieder noethersch.“ Richtig. Beweis: Ist R noethersch, so auch jeder Polynomring in endlich vielen Variablen. Ist nun A eine endlich erzeugte R-Algebra, so ist A Ringquotient eines solchen Polynomrings R[X_1,...,X_n]. Ein Ring ist noethersch genau dann, wenn er als Modul über sich selbst noethersch ist. Zudem ist jeder Modulquotient eines noetherschen Moduls wieder noethersch. Folglich ist also A ein noetscher R[X_1,...,X_n]-Modul und also auch noethersch als A-Modul. Im letzten Schritt haben wir benutzt, dass für Ringquotienten R’ ->> A gilt: Eine Untergruppe eines A-Moduls ist ein R’-Untermodul genau dann, wenn sie ein A-Untermodul ist.

Tipps – Blatt 5

Hallo allerseits;

ich bin im Moment auf der Isle of Skye auf einer Konferenz. Deswegen die Tipps diesmal etwas spaeter. Also:

Aufgabe 1

Der erste Punkt, den ihr euch klarmachen solltet ist, dass man noethersch auch ueber die offenen Mengen definieren kann.
Der zweite Punkt, dass die induzierte Topologie auf offenen Teilmengen gerade aus offenen Mengen im umgebenden Raum besteht.
Ist der Raum nun noethersch folgt mehr oder weniger direkt, dass jede offenen Teilmenge quasikompakt ist.
In die andere Richtung, startet mit einer aufsteigenden Kette offenen Mengen und …

Aufgabe 2

Am besten geht man hier mit geometrischer Intuition voran: Maximale Ideale eines Koordinatenrings entsprechen gerade Punkten einer Varietaet.

Aufgabe 3

Fasst die Lokalisierungen als Teil des Quotientenkoerpers auf. Zu jeder dieser Lokalisierungen gehoert ja die Varietaet des jeweiligen Primideals . Ueberlegt euch, wie Elemente des Quotientenkoerpers mit dieser Varietaet zusammenspielen; Im allgemeinen sind sie ja keine Funktionen – moeglicherweise wird durch 0 geteilt – aber …

Tipps für Blatt 3

Hallo Leute,

hier sind frische Tipps:

Aufgabe 3.1

Garnicht soooo schwer und ne super Übung, aber viel zu schreiben(!) deswegen so viele Punkte. Die Aussage wird wegen der fünf vertikalen Morphismen auch 5er-Lemma genannt. Die Beweismethode auf die Ihr beim Bearbeiten der Aufgabe stoßen werdet, nennt sich Diagrammjagd. Die Argumente sind meistens nicht schwer, aber immer umständlich und langatmig aufzuschreiben und werden deswegen häufig zur Übung an den Leser weitergegeben. Der bequemste Weg, den Beweis weiterzugeben ist, ihn an der Tafel vorzuführen. Ich kann mich an ein Buch erinnern, das Anstatt eines Beweises für das Schlangenlemma, einer ganz ähnlichen Aussage, auf die Eingangsszene des Films „It’s My Turn“ verweist. Wem das Video zu schnell ist: Hier kann man den Beweisschritt nochmal nachlesen.
Aber zurück zur Aufgabe. Wie gewohnt: injektiv und surjektiv einzeln zeigen. Für „Injektiv“: Startet mit einem Element aus C, dass über c auf 0 abgebildet wird und zeigt, dass dieses schon selbst 0 ist. Dafür reicht es z.B. ein Urbild aus B zu finden.

Aufgabe 3.2

Das ist eine Anwendung vom Nullstellensatz: Ideale die zu affinen Mengen gehören sind genau die reduzierten Ideale – Das hatten wir ja im letzten Tutorat besprochen. Das bedeutet also, dass Koordinatenringe gerade …

Aufgabe 3.3

Die drei aufgeführten Schritte sind schon Hilfestellung genug, denke ich.

Aufgabe 3.4

Das ist glaube ich die schwierigste Aufgabe auf diesem Zettel, aber zumindest der erste Teil ist gut schaffbar. Geht jeweils so vor:

1. Malt euch ein Bild von der Angegebenen Menge in R². Eigentlich liegen die Mengen ja in  C², aber das kann man sich ja schlecht vorstellen.
2. Sucht eine algebraische Menge Y, die besagte Menge enthält und …
3. … zeigt dann, dass zwischen besagter Menge und Y keine weitere Algebraische Menge liegt. Für den ersten Teil müsst ihr euch an die Zariski Topologie von A^1 erinnern. Für den zweiten Teil müsst ihr etwas Trickreicher vorgehen. Für jedes gute Argument gibt’s einen Punkt.

P.S.: Wenn euch die Vorlesung im Moment sehr schwer vorkommt, habt ihr erstens Recht und aber zweitens ist das kein Grund, die Flinte ins Korn zu werfen, denn: Der Hilbert’sche Nullstellensatz ist eine sehr tiefgehende Aussage und erfordert deswegen einen schwereren Beweis. Danach wird es wieder viel einfacher. Es handelt sich also im Moment um einen der höchsten Berge, die ihr für diese Vorlesung besteigen müsst. Danach geht durch die Schwerkraft dieses Satzes vieles fast von alleine.

Also Dann: Schönes Wochenende und bis Mittwoch!

Tipps für Blatt 2

Hallo Leute,

hier sind Tipps für das aktuelle Blatt.

Aufgabe 2.1

Ganz einfach. Erst nachrechnen, dass das Urbild eine Untergruppe ist und dann, dass es auch unter Multiplikation stabil ist.

Aufgabe 2.2

Das überlasse ich euch.

Aufgabe 2.3

Also aus dem Stand ist das sehr schwer, wie ich finde, aber zum glück habt ihr ja schon ein paar Zahnräder gezimmert und müsst diese nur noch richtig zusammenstecken. Ihr braucht:

• Lemma 2.10 über kurze exakte Sequenzen und noethersche Moduln.
• Einen der Isomorphiesätze.
• Zeigt, dass Summen endlich erzeugter Untermoduln wieder e.e. sind.

Aufgabe 2.4

Da werde ich morgen nochmal drüber nachdenken und es dann hier ergänzen.

Tipps für Blatt 1

Hallo allerseits,

an dieser Stelle wird es, so meine Zeit zulässt, immer Tipps zum aktuellen Blatt geben. Da unser Tutorat ja erst einen Tag vor Abgabe stattfindet, kann ich euch hier noch rechtzeitig nützliche Hinweise geben. Also:

Aufgabe 1.1

Findet zunächst zwei Polynome aus k[X_1,X_2,X_3], welche die betreffende algebraische Menge Y beschreiben. Jetzt müsst ihr ein Element X’, beschrieben durch ein Polynom, aus O(V) finden, das diesen Koordinatenring erzeugt. Habt ihr ein solches gefunden, so induzieren die Abbildungen (X |-> X’) und (X’ |-> X) den gesuchten Isomophismus.

Aufgabe 1.2

Hier möchte ich nichts verraten.

Aufgabe 1.3

Nehmt einfach die Definition eines Ideals zur Hand und überlegt, welche der geforderten Eigenschaften kaputt gehen könnte.

Aufgabe 1.4

Der erste Schritt: Was passiert mit X? Der zweite Schritt: Was passiert mit k? Achtung: Da steht nur „Ringhomomorphismus“ und es stellt sich also die Frage, ob jeder Ringendomorphismus eines Körpers bereits ein Automorphismus ist – und was ein Gegenbeispiel ist.
Die Frage ist gar nicht so einfach und für jemanden, der Algebra noch nicht gehört hat vielleicht zu schwer. Deswegen der folgende Deal:

1. Diejenigen, die Algebra schon gehört haben machen die Aufgabe so, wie sie dasteht; Dafür dürft ihr aber bei Aufgabe 1.3 den Unterpunkt (iii) auslassen.
2. Diejenigen, die Algebra noch nicht gehört haben brauchen zur Vereinfachung nur Ringhomos zu untersuchen, die zusätzlich k-linear sind.